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简单命题与复合命题

至少包含一个联结词的命题是复合命题;否则,它是简单命题。请考虑如下例子:

例11-7 席琳·迪翁是一名歌手,罗素·克洛是一名演员。

这是一个复合命题,它是如下两个简单命题的合取:

例11-8 席琳·迪翁是一名歌手。

例11-9 罗素·克洛是一名演员。

合取是5个联结词之一。其他4个分别是否定、析取、实质蕴涵和实质等值。对于每个联结词,我们引入一个符号,并且给出一条真值规则。其中,真值规则用于确定由特定联结词构造而成的复合命题的真值。因为与每个联结词相联系的真值规则定义了该联结词,所以每个联结词都是“真值函项联结词”。不过,在多数时候,我们将它们简称为“联结词”,见表11-1。

在讨论每个联结词之前,请注意,通常只有一个联结词管辖一个复合命题,称之为“主联结词”。我们通过识别主联结词来确定一个给定的命题属于哪类复合命题:合取命题、否定命题、析取命题等。显然,当一个命题包含多个联结词时,确定哪个联结词是主联结词很重要。

否定

否定是一个真值函项联结词,它一般被表达为 “并非”(即英文“not”),用波浪形符号“~”表示。否定能够影响一个命题自身。即便如此,在习惯上我们也把它当作一个“联结词”。在日常语言中,否定可以出现在一个陈述的任意部分。当一个否定加在一个简单命题上的时候,这个命题就成为一个复合命题。请考虑如下例子:

例11-10 罗素·克洛不是一名演员。

例11-10a ~C

在这里,通过添加一个否定,简单命题 “罗素·克洛是一名演员”变成了复合命题。在例11-10a中,我们用波浪形表达一个否定,用C代表被它影响的那个简单命题。

被否定影响的命题自身也可以是复合命题。例如:

例11-11 并非火星和木星都有水。

例11-12 并非玛丽不在图书馆。

为了表达否定的命题,否定符号通常位于被否定的东西之前。例11-12是“玛丽不在图书馆”的否定,而“玛丽不在图书馆”本身也是一个否定。这样,我们就有了一个双重否定:对本身是一个否定命题的否定。双重否定可以用命题公式表示为:

例11-12a ~~L

因为两个否定互相抵消,所以例11-12a在逻辑上等价于:

例11-12b L

任意包含否定的命题或者命题公式都是复合命题。如下“真值规则”定义了否定。它们也可以用于确定包含否定的命题(或命题公式)的真值。

一个否定命题为真,如果被否定的命题为假。

一个否定命题为假,如果被否定的命题为真。

当一个命题是另一个命题的逻辑否定的时候,这两个命题不具有相同的真值:当“P”为真时,“~P”为假;当“~P”为真时,“P”为假。例如,上述命题例11-11(即“火星和木星都有水”的否定)为真,而“火星和木星都有水”为假。在如下的例子中,例11-14不是例11-13的否定,因为这两个命题都为假。

例11-13 所有牙齿矫正医生都是高个子。

例11-14 没有牙齿矫正医生是高个子。

现在,请考虑如下命题:

例11-15 有些牙齿矫正医生不是高个子。

例11-16 有些牙齿矫正医生是高个子。

例11-15是例11-13的否定,而例11-16是例11-14的否定。在这里每一对命题均不可能有相同的真值。不过,逻辑上等价的命题会有相同的真值。例如,如果例11-17为真,那么例11-18也为真。

例11-17 林肯被暗杀了。

例11-18 并非林肯没有被暗杀。

例11-18是一种双重否定,即它是“林肯没有被暗杀”的否定。

注意,以“……不是真的”、“……是假的”、“……从来没有发生过”等形式表达的命题通常是一种否定,正如在英语中包含 “in-”、“un-”和“non-”等前缀的命题一样。例如:

例11-19 我的选举权是不可剥夺的(inalienable)。

在这里,“不可剥夺的”(inalienable)意味着“不是可剥夺的”(not alienable)。例11-19在逻辑上等价于:

例11-19a 我的选举权不是可剥夺的。

同样,因为“未婚”(unmarried)意味着“没有结婚”(not married),所以例11-20与例11-20a在逻辑上也是等价的:

例11-20 康多莉扎·赖斯是未婚的。

例11-20a 并非康多莉扎·赖斯是结了婚的。

但是,例11-21不是一个否定:

例11-21 未婚夫妇也有获奖资格。

在这里,“未婚的”(unmarried)并不是用来否定整个命题的。它只影响“结婚的”(married)这个词。

最后要注意,尽管在英语中像“miss”、“violate”、“fail”等词语都有否定的意思,但它们不被用来表达否定。

合取

合取是一个真值函项联结词,可以用自然语言表达为“并且”,用符号表示为“·”。相应复合命题称为“合取命题”。合取通常放在两个命题之间,这两个命题都被称为“合取支”。合取支既可以是一个简单命题,也可以是一个复合命题。接下来,我们来考察一些由简单命题经过合取而构成的复合命题。

例11-22 珠穆朗玛峰(Everest)在中国西藏,勃朗峰(Blanc)在法国。

例11-23 火星(Mars)和木星(Jupiter)都有水。

它们可以用符号表达为:

例11-22a E · B

例11-23a M · J

回忆前面的例11-11:

例11-11 并非火星和木星都有水。

表达该命题的公式是例11-11a,它用圆括号表明M和J都在否定的辖域内。

例11-11a ~(M · J)

关于圆括号和其他标点符号的使用,我们将在后面做更多阐述。现在,让我们考虑为什么合取是一个真值函项联结词。这是因为,对于一个合取命题,只要给定其合取支的真值,依据如下规则,就可以确定该合取命题的真值。

一个合取命题为真,当且仅当它的合取支都为真;否则,一个合取命题为假。

例11-22为真,因为它的两个合取支事实上都为真。但是,如果一个合取支为真而另一个为假,或者两个都为假,那么相应的合取命题就为假。对于例11-23,因为我们知道它的两个合取支都为假,所以该命题为假。同样,下列命题也为假:

例11-24 珠穆朗玛峰在中国西藏,但勃朗峰不在法国。

例11-25 珠穆朗玛峰不在中国西藏,勃朗峰不在法国。

因为勃朗峰在法国,所以例11-24的第二个合取支为假,这使得该合取命题为假。因此,在一个合取命题中,“假”类似于传染病,只要存在于一处,整个复合体就会被破坏。在例11-25中,两个合取支都为假,因为它们都是一个真命题的否定。上述两个命题可以用符号表示为:

例11-24a E ·~B

例11-25a ~E ·~B

另外,需要注意的是,像例11-23一样,在日常语言中许多合取命题都是采用缩写的形式。例如:

例11-26 罗特韦尔犬和多伯曼犬都是凶猛的狗。

上述命题在逻辑上等价于:

例11-27 罗特韦尔犬是凶猛的狗,并且多伯曼犬也是凶猛的狗。

然而,例11-28不是一个由两个简单命题组成的合取命题的简写,而是另一个简单命题,用于描述两种狗之间的一种特定的关系。

例11-28 罗特韦尔犬和多伯曼犬正在互相发出吠声。

此外,还需注意的是,作为一个真值函项联结词,合取满足交换律,即合取支的次序不影响相应复合命题的真值。假设例11-26为真,那么依据相关事实,“多伯曼犬是凶猛的狗,并且罗特韦尔犬也是凶猛的狗”为真,例11-27也为真。然而,对于这一点,我们也得小心,因为有时次序需要被考虑。不过,在这种情况下合取就不是一个真值联结词了,例如:

例11-29 他脱了鞋,上了床铺。

当例11-29和例11-30均为真时,所对应的事实并不完全相同:

例11-30 他上了床铺,脱下鞋。

在这些非真值函项合取命题中,事件的次序(即合取支的次序)的确有影响。我们再观察如下两个例子:

例11-31 他看见她并且说“你好”。

例11-32 他说“你好”并且看见她。

最后,除了“并且”(and)之外,自然语言中还有很多表达合取的词,包括“但是”(but)、“然而”(however、nevertheless、yet)、“也”(also)、“另外”(moreover)、“而”(while)、“即使”(even though)和“尽管”(although)等。

析取

析取也是一个满足交换律的联结词,可以用自然语言表达为“或者”,用符号表示为“∨”。相应的复合命题称为“析取命题”。在表达一个析取命题的时候,联结词通常放在两个命题之间,这两个命题都称为“析取支”。析取支既可以是一个简单命题,也可以是一个复合命题。下面是两个析取命题(分别用自然语言和符号表示):

例11-33 罗马在意大利(Italy),或者罗马在芬兰(Finland)。

例11-33a I ∨ F

例11-34 罗马不在意大利,或者巴黎不在法国(France)。

例11-34a ~I ∨~F

例11-33和例11-34都是析取命题,因此都是复合命题。析取是一个真值联结词,因为对于一个析取命题,只要给定其析取支的真值,依据如下规则,就可以确定该析取命题的真值。

一个析取命题为假,当且仅当它的析取支都为假;否则,一个析取命题为真。

依据上述规则,一个析取命题为真,该命题中至少有一个析取支为真。由此可知,例11-33为真,而例11-34为假。例11-35也是假的,因为它的两个析取支(均为复合命题)都为假。

例11-35 或者雪地(snow)防滑轮胎在热带是有用的并且空调(air conditioners)在冰岛是流行的,或者企鹅(Penguins)并非在寒冷中茁壮成长。

例11-35a (S · A) ∨ ~P

显然,合取命题(S · A)为假,因为它的两个合取支都为假;同时,~P为假,因为它是P的否定,而P为真。因为例11-35的两个析取支都为假,依据析取的真值规则,可知例11-35为假。

除了“或者”(or)之外,析取还可以由其他自然语言来表示,如“要么……要么……”和“除非”等。有时,析取被嵌入到否定中(例如“既不……也不……”)。这时,否定是主联结词。对于上述这些情况,请看如下例子:

例11-36 她是该课程的主讲教师,除非课程表错了。

例11-36a 要么她是该课程的主讲教师,要么课程表错了。

例11-37是例11-37a的缩略表达:

例11-37 中央情报局和联邦调查局都不容忍恐怖分子。

例11-37a 既非中央情报局容忍恐怖分子,也非联邦调查局容忍恐怖分子。

因为“既不……也不……”通常用于表达一个析取的否定,所以例11-37在逻辑上等价于:

例11-38 并非“要么中央情报局容忍恐怖分子,要么联邦调查局容忍恐怖分子”。

因此,例11- 37和例11-38都可以被符号化为一个析取的否定:

例11-38a ~(C ∨ F)

注意,这里的主联结词是否定,不是析取。另外,例11-37和例11-38在逻辑上等值于例11-39。

例11-39 中央情报局不容忍恐怖分子,联邦调查局也不容忍恐怖分子。

例11-39a ~C···~F

最后,一个真值函项析取是相容的,当两个析取支可能都为真;或者是不相容的,当只有其中之一可能为真。本书着重讨论相容析取,其真值规则已在前面给出。

实质条件

实质条件式是一种复合命题,又称为“实质蕴涵式”或“条件式”。相应的真值函项联结词可以用自然语言表示为“如果……那么……”,或用符号表示为“∩”。例如:

例11-40 如果玛丽亚是执业律师,那么她已经通过了律师资格考试。

一个条件式由两部分构成:放在“如果”后面的是它的前件,而放在“那么”后面的是它的后件。

实质条件是一个真值函项联结词,因为对于由它所产生的复合命题,只要给定其前件和后件的真值,依据如下规则,就可以确定该复合命题的真值。

一个实质条件式为假,当且仅当它的前件为真并且后件为假;否则,它为真。

因此,任意具有真后件的条件式为真,而任意具有假前件的条件式为真。

实质条件式中的两个命题既可以是简单命题,也可以是复合命题。它们代表一个假说关系,其中前件和后件都不是被独立地断定的。例11-40断定玛丽亚是执业律师吗?不是。断定她已经通过了律师资格考试了吗?也不是。相反,在任意条件式“如果P那么Q”中,P和Q代表这样一种假说关系,使得P为真蕴含着Q也为真。为了质疑一个条件式,我们必须表明其前件为真并且后件为假。

注意,有时用于引出一个条件句后件的“那么”可以被省略。另外,除“如果……那么……”之外,自然语言的其他表述也可以用于引入条件句的前件或后件。这些表述可以出现在一个语句的后件之前、前件之前,或者它们二者之前。在下面的例子中,由双下划线标记的是前件,由单下划线标记的是后件:

玛丽亚已经通过了律师资格考试,只要她是执业律师。

假定玛丽亚是执业律师,则她已经通过了律师资格考试。

在假设玛丽亚是执业律师的情况下,她已经通过了律师资格考试。

玛丽亚是执业律师,只有当她已经通过了律师资格考试。

玛丽亚是执业律师,蕴含着她已经通过了律师资格考试。

现在我们把上述条件式用符号语言来表达。用“M·”代表“玛丽亚是执业律师”,“E·”代表“她已经通过了律师资格考试”。如下公式表达了任何以“M·”为前件、以“E·”为后件的命题。它把“M·”放在最前面,然后是马蹄形符号,最后面是“E·”:

例11-40a M ∩ E

在形式化的过程中,我们遵循的规则是:

为了用符号语言来表达一个条件式,我们必须先列出它的前件,后列出它的后件,无论在自然语言句子中这两部分以何种顺序出现。

依据如下术语,我们把下面的自然语言条件句翻译为用符号语言表示的条件式:

N = 美国是一个超级大国。

I = 中国是一个超级大国。

C = 中国在其他国家有代理机构。

O = 美国在其他国家有代理机构。

例11-41 如果中国是一个超级大国,那么中国和美国在其他国家都有代理机构。

例11-41a I ∩ (C · O)

例11-42 并非“如果美国在其他国家有代理机构,那么它是一个超级大国”。

例11-42a ~ (O ∩ N)

例11-43 中国在其他国家有代理机构,只要美国和中国都是超级大国。

例11-43a (N · I) ∩ C

例11-44 如果美国在其他国家没有代理机构,那么它就不是一个超级大国。

例11-44a ~O ∩ ~N

例11-45 中国在其他国家有代理机构,蕴含着:或者它是一个超级大国,或者美国不是一个超级大国。

例11-45a C ∩ (I ∨ ~N)

例11-46 如果“或者美国在其他国家有代理机构,或者中国在其他国家有代理机构”,那么美国和中国都不是超级大国。

例11-46a (O ∨ C) ∩ ~ (N ∨ I)

例11-47 如果美国不是一个超级大国,那么它“或者在其他国家有代理机构,或者在其他国家没有代理机构”。

例11-47a ~N ∩ (O ∨ ~O)

注意,“P除非Q”也可以被表达为“如果并非P那么Q”。因此,“美国是联合国的一个成员,除非美国拒斥联合国宪章”,等价于“如果美国不是联合国的一个成员,那么美国拒斥联合国宪章”。

充分条件和必要条件。在任意实质条件式中,前件是后件的充分条件,而后件是前件的必要条件。因此,“如果P那么Q”的另外一种方式是:P对Q是充分的,而Q对P是必要的。某个命题P为真的一个必要条件是指事情的某种状态:若没有它,则P不可能为真;但若仅仅依靠它自身,则并不足以使P为真。在例11-40中,“玛丽亚已经通过了律师资格考试”是“她是一名执业律师”的必要条件(如果她没有通过律师资格考试,那么她不可能是一名执业律师,尽管仅仅通过律师资格考试并不能保证她是一名执业律师)。某个命题Q为真的一个充分条件是指事情的某种状态:仅仅依靠它自身就足以使Q为真,但它并不是使Q为真的唯一途径。在例11-40中,“玛丽亚是一名执业律师”是“她已经通过了律师资格考试”的充分条件(意思是前者保证了后者)。

在一个实质条件式中:

后件是前件为真的必要(但不是充分)条件。

前件是后件为真的充分(但不是必要)条件。

实质双条件

一个实质双条件式是一种复合命题,又称“实质等值式”,或简称“双条件式”。相应的真值函项联结词可以用自然语言表示为“当且仅当”,或用符号表示为“≡”。双条件也可以用自然语言表示为其他形式,如:“恰好在……情况下”(just in case)、“等值于”(is equivalent to)、“当并且只有当……的时候”(when and only when)等,或者缩写作“iff”。一个双条件式的两个部分既可以是简单命题,也可以是复合命题。下面是一个由简单命题构成的双条件式,分别用自然语言和符号来表示:

例11-48 班克斯特博士是这所学院的校长,当且仅当她是该学院的首席执行官。

例11-48a B ≡ O

对于由双条件式所产生的复合命题,它的真值取决于组成部分的真值,相应的真值规则如下:

一个实质双条件式为真,当它的组成部分有相同的真值时成立,即它们要么都为真、要么都为假;否则,一个双条件式为假。

给定上述规则,为了使得一个双条件命题为真,组成它的命题必须具有相同的真值,即要么两者都为真、要么两者都为假。当一个双条件式的构成部分具有不同的真值时,该双条件式为假。例11-49~例11-51均为假,因为它们中的任何一个都描述了两个具有不同真值的命题。

例11-49 喜马拉雅山是一座山脉,当且仅当罗马教皇是英国圣公会的领袖。

例11-50 伦敦在英格兰,当且仅当波士顿在波斯尼亚。

例11-51 鹦鹉是哺乳动物,当且仅当猫是哺乳动物。

相反,以下双条件式都为真,因为在各种情况下其组成部分都有相同的真值:

例11-52 林肯是被刺杀的,当且仅当肯尼迪是被刺杀的。

例11-53 北京是法国首都,当且仅当比尔·盖茨是贫穷的。

例11-54 “栎树是树木”与“老虎是猫科动物”在逻辑上是等值的。

在任意双条件式中,每个组成部分既是另一部分的必要条件,也是它的充分条件。因此,在例11-48中,“班克斯特是该学院的首席执行官”既是“她是这所学院的校长”的必要条件,也是它的一个充分条件。“她是这所学院的校长”既是“她是该学院的首席执行官”的必要条件,也是它的充分条件。因此,一个双条件式可以被理解为两个条件式的合取。这样,我们可以把例11-52表达为这两种情况中的任意一种:

例11-52a L ≡ K

例11-52b (L ∩ K) · (K ∩ L)

例11-52b是两个条件式的合取,其前件与后件互相蕴含。这就是为什么我们把实质等值关系叫作“双条件式”的原因。显然,该联结词满足交换律。

专栏11-1 小结:复合命题

受一个真值函项联结词影响的任何命题都是复合命题;否则,它是一个简单命题。

一个复合命题的真值由如下两个因素确定:

(1)它的组成部分的真值;

(2)与该命题中各个联结词相关的真值规则。

否定是唯一一个能够影响单一命题的联结词。